نسبت فیبوناچی و طلایی

در مورد توالی فیبوناچی و رابطه "طلایی" آن با اشکال در دنیای زیبایی و طبیعت بیاموزید.

زیبایی در نگاه بیننده است

چه چیزی چیزی را "زیبا" می کند؟آیا زیبایی کاملاً ذهنی است؟اگر اینگونه باشد ، پس چرا برخی از چیزها برای مدت طولانی زیبا تلقی شده اند ، حتی اگر روندها تغییر کرده اند؟آیا می توان الگویی در طبیعت وجود داشت که انسان به طور ناخودآگاه به آنها پاسخ می دهد؟

یونانیان گفتند که همه زیبایی ها به ریاضی می رسد. فیلسوفان ، جامعه شناسان ، زیست شناسان و ریاضیدانان همه به دنبال یک کیفیت مشترک هستند که ممکن است درک ما از زیبایی را توضیح دهد.

یکی از این خصوصیات تقارن تقارن است. دانشمندان ثابت کرده اند که انسان ها به الگوهای متقارن جذب می شوند. حتی نوزادان ترجیح می دهند به تصاویر چهره های متقارن نگاه کنند تا موارد غیر متقارن!اما تقارن به تنهایی نمی تواند توضیح دهد که چرا انسانها چیزهای زیبایی را می بینند. بنابراین چه چیز دیگری می تواند در درک ما از زیبایی دخیل باشد؟

نشان داده شده یک عکس رنگی از یک حشره با دو بال با الگوی سایه های آبی است. الگوی بالهای چپ و راست آینه های یکدیگر هستند.

بالهای پروانه ای در قسمت بالای آن به رنگ آبی تیره ، در نزدیکی سرش ، به رنگ آبی عمیق در مرکز ، در نزدیکی نیم تنه آن ، سپس آبی روشن روشن می شود. لبه های پایین بالها دارای یک نوار ضخیم سیاه و دارای ردیف های نقاط سفید هستند.

بین بالهای آن ، پروانه دارای یک تنه سیاه باریک و آنتن های بلند است. روی یک گل قرمز براق با یک استامن زرد بزرگ قرار دارد.

به نظر می رسد یونانیان در مورد زیبایی و ریاضیات درست بودند. در بسیاری از مواردی که انسان ها به عنوان زیبا توصیف می کنند یک عنصر مشترک وجود دارد. به گفته ریاضیدانان تا زمانی که یونانیان باستان و مصریان باستان ، این عنصر نسبت 1: 1. 618 است. به این نسبت طلایی گفته می شود.

اعداد فیبوناچی

بنابراین این شماره "طلایی" از کجا آمده است؟این نسبت براساس دنباله ای از اعداد معروف به اعداد فیبوناچی یا توالی فیبوناچی است. این توسط ریاضیدان لئوناردو بوناچی در حدود سال 1202 مشخص شد.

آیا می دانید؟

لئوناردو بوناچی به دلیل اینکه اهل پیزا بود ، به لئوناردو پیزا معروف شد. او حتی به عنوان فیبوناچی نیز بهتر شناخته می شد ، که به معنای "پسر بوناچی" به زبان ایتالیایی بود. وی در طول زندگی خود فیبوناچی خوانده نشد.

فیبوناچی یکی از مهمترین ریاضیدانان در قرون وسطا بود. وی در کتاب خود Liber Abaci ، سیستم عددی عربی را به جهان غربی معرفی کرد. این همان سیستم شماره ای است که امروز هنوز از آن استفاده می کنیم.

در همان کتاب ، فیبوناچی مشکل معروف خرگوش خود را معرفی کرد:

یک مرد خاص یک جفت خرگوش را در مکانی احاطه شده توسط یک دیوار قرار داد. اگر تصور می شود که هر ماه هر جفت یک جفت جدید را که از آن ماه دوم تولید می شود ، از آن جفت می توان از آن جفت تولید کرد؟

(صص 283-284 ، ترجمه شده از لاتین اصلی)

راه حل وی برای این مشکل منجر به یک سری اعداد شد. دو عدد اول 0 و 1 هستند و هر شماره زیر مجموع دو عدد قبل از آن است:

0 ، 1 ، 1 ، 2 ، 3 ، 5 ، 8 ، 13 ، 21 ، 34 ، 55 ، 89 ، 144 ، 233 ، 377 ، 610 ، 987 ، 1597 ، 2584 ، 4181 ،…

این توالی فیبوناچی است. اعداد فردی در این دنباله اعداد فیبوناچی نامیده می شوند.

توالی فیبوناچی نیز می تواند با استفاده از این معادله بیان شود:

f_حرف= f_(N-1)+ f_(N-2)

Where n is greater than 1 (n>1).

این دنباله اعداد ممکن است خیلی زیاد به نظر نرسد. اما وقتی هر شماره را با شماره ای که قبل از آن است تقسیم می کنیم جالب تر می شود.

به عنوان مثال: 1/1 ، 2/1 ، 3/2 ، 5/3 ، 8/5 ، 13/8 ، 21/13

برای این مثال ها، پاسخ ها عبارتند از: 1. 000، 2. 000، 1. 500، 1. 667، 1. 625، و 1. 615.

نسبت های هفت جفت اول اعداد فیبوناچی (©2022 Let’s Talk Science). تصاویر - نسخه متنی

نمودار نوار رنگی با 0 - 2. 0 در محور y و 1/1، 2/1، 3/2، 5/3، 8/5، 13/8، 21/13 در محور x نشان داده شده است.

از چپ به راست: نوار با برچسب 1/1 بنفش کم رنگ است و تا 1. 0 می رسد. نوار با برچسب 2/1 طلایی است و تا 2. 0 می رسد. نوار با برچسب 3/2 بنفش روشن است و تا 1. 5 می رسد. نوار با برچسب 5/3 بنفش تیره است و تا 1. 667 می رسد. نوار با برچسب 8/5 نارنجی است و تا 1. 6 می رسد. نوار با برچسب 13/8 فیروزه ای است و به 1. 625 می رسد. آخرین نوار با برچسب 21/13 آبی روشن است و تا 1. 615 می رسد. این نسبت ها در مرکز هر نوار نوشته شده است.

یک خط نقطه چین در سراسر نمودار، در سطح 1. 618033988749895 کشیده شده است. این با نماد فی مشخص شده است. یک بیضی افقی با یک خط عمودی از طریق مرکز.

آیا می دانید؟

وقتی دانش آموزان به رابطه بین یک ترم و ترم بعدی نگاه می کنند، نوعی تفکر به نام تفکر بازگشتی انجام می دهند.

نسبت طلایی

با بزرگتر شدن اعداد فیبوناچی، نسبت بین هر جفت اعداد به 1. 618033988749895 نزدیکتر می شود. این عدد فی نام دارد. همچنین می توان آن را با نماد Φ، بیست و یکمین حرف الفبای یونانی نشان داد.

فی نسبت طلایی است. همچنین دارای دیگر ویژگی های ریاضی غیر معمول است.

آیا می دانید؟

نسبت طلایی با نام‌های بخش طلایی، میانگین طلایی و نسبت الهی نیز شناخته می‌شود.

نسبت طلایی را می توان با استفاده از دو کمیت، مانند طول دو پاره خط، یافت.

دو کمیت دارای نسبت طلایی هستند اگر نسبت آنها با نسبت مجموع آنها به بزرگتر از دو کمیت یکسان باشد:

نشان داده شده یک تصویر رنگی از قطعات خط و یک معادله ریاضی است.

در بالا یک نوار سیاه بلند با برچسب Line Segment وجود دارد. در زیر یک نوار آبی کوتاه با برچسب Long Segment وجود دارد. در سمت راست یک نوار سبز حتی کوتاه‌تر وجود دارد که با عنوان Short Segment مشخص شده است. هنگامی که انتها به انتها قرار می گیرند، نوارهای آبی و سبز با طول نوار سیاه برابر است.

معادله زیر این تصویر است. در سمت چپ، کلمات Long Segment به رنگ آبی با کلمات Short Segment به رنگ سبز تقسیم می شود. در سمت راست علامت تساوی است. در مرحله بعد کلمات Line Segment به رنگ مشکی به کلمات Long Segment به رنگ آبی تقسیم می شود. به دنبال آن علامت تساوی دیگری وجود دارد. بعد، 1+ جذر 5 بر دو تقسیم می شود. به دنبال آن علامت تساوی دیگری وجود دارد. در سمت راست، پاسخ 1. 61803 است.

یک مستطیل طلایی به روشی مشابه کار می کند.

مستطیل طلایی مستطیلی با ضلع بلند a + b و ضلع کوتاه a است. این کل ناحیه رنگی نمودار است.

اگر یک قسمت مربعی را طوری قطع کنیم که هر ضلع آن برابر با کوتاه ترین ضلع باشد، این مربع آبی کم رنگ سمت چپ است. نسبت طول ضلع قطعه ای که باقی می ماند مانند مستطیل اصلی است. این ناحیه صورتی در سمت راست است.

همانطور که در معادله زیر می بینید، نسبت بین ضلع a و b، ف یا 1. 618 است.

نمودار رنگی یک مستطیل نشان داده شده است که به یک مربع بنفش کم رنگ و یک مستطیل صورتی کوچکتر تقسیم شده است.

لبه‌های بالا و سمت چپ مربع هر کدام با حروف آبی، کوچک و مورب a مشخص شده‌اند. لبه بالایی مستطیل کوچکتر با یک حروف قرمز، کوچک، مورب b مشخص شده است. کل لبه پایینی مستطیل بزرگتر با علامت + b با حروف کج سبز مشخص شده است.

ما می توانیم این الگو را با افزودن یک مربع بزرگتر به ضلع بلند (a + b) یک مستطیل رشد دهیم. سپس می توانیم همین کار را با مستطیل حاصل از آن ترکیب انجام دهیم.

الگوی مربع و مستطیل را در این نمودار می بینید.

چندین مستطیل طلایی (بیایید با استفاده از یک تصویر توسط پریموپیانو از طریق iStockphoto در مورد علم صحبت کنیم). تصویر - نسخه متنی

نشان داده شده یک تصویر سیاه و سفید از یک مستطیل است که به مربع ها و مستطیل های کوچکتر تقسیم شده است که با حرکت در اطراف صفحه به سمت نقطه ای در ربع پایین سمت راست کوچکتر می شوند.

بزرگترین مستطیل به اشکال کوچکتر زیادی تقسیم می شود. بزرگترین، در سمت چپ، مربعی با شماره 34 است.

در سمت راست مربع یک مستطیل عمودی قرار دارد. این به یک مربع با برچسب 21 و یک مستطیل افقی کوچکتر تقسیم می شود.

مستطیل سوم دوباره تقسیم می شود. مربع در سمت راست دارای برچسب 13 است. مستطیل عمودی به مربعی با برچسب 8 و یک مستطیل افقی که دوباره تقسیم می شود تقسیم می شود. مربع بعدی دارای برچسب 5 است. در کنار آن، مستطیل عمودی دیگری شامل یک مربع با برچسب 3 و یک مستطیل افقی کوچکتر است که به نوبه خود حاوی مربعی با برچسب 2 است. کوچکترین مربع برچسب گذاری نشده است، اما به نظر می رسد این الگو می تواندادامه دهید، با هر تکرار کوچکتر و کوچکتر می شود.

با افزودن خطی که در هر مربع یک چهارم دایره تشکیل می دهد، می توانیم مستطیل طلایی را یک قدم جلوتر ببریم.

این نمودار نشان می دهد که خطوط به هم متصل می شوند تا یک مارپیچ را تشکیل دهند.

هر مربع همچنین با یک عدد نشان داده شده است که طول اضلاع آن را نشان می دهد. آنها همان اعدادی هستند که در دنباله فیبوناچی هستند!ما به این مارپیچ فیبوناچی می گوییم.

نشان داده شده یک تصویر سیاه و سفید از یک مستطیل است که به مربع ها و مستطیل های کوچکتر تقسیم شده است که با یک خط مارپیچ آبی پوشانده شده است.

بزرگترین مستطیل به اشکال کوچکتر زیادی تقسیم می شود. بزرگترین، در سمت چپ، مربعی است که با عدد 34 برچسب گذاری شده است. خط آبی روی آن از پایین سمت چپ به گوشه سمت راست بالا، در یک چهارم دایره منحنی است.

در سمت راست مربع یک مستطیل عمودی قرار دارد. این به یک مربع با برچسب 21 و یک مستطیل افقی کوچکتر تقسیم می شود. مربع با برچسب 21 با یک چهارم دایره دیگر، از بالا سمت چپ، به گوشه پایین سمت راست پوشیده شده است.

مستطیل سوم دوباره تقسیم می شود. مربع سمت راست دارای برچسب 13 است. با یک خط آبی منحنی از بالا سمت راست به سمت چپ پایین پوشانده شده است.

مستطیل عمودی بیشتر به یک مربع با برچسب 8 و یک مستطیل افقی که دوباره تقسیم می شود تقسیم می شود. خط آبی همچنان در این اشکال پیچ می خورد.

مربع بعدی دارای برچسب 5 است. در کنار آن، یک مستطیل عمودی دیگر شامل یک مربع با برچسب 3 و یک مستطیل افقی کوچکتر است که به نوبه خود شامل مربعی با برچسب 2 است. خط آبی همچنان در این اشکال کوچکتر می شود.

کوچکترین مربع برچسب گذاری نشده است، اما این نقطه ای است که مارپیچ آبی به یک حلقه محکم ختم می شود. این الگو به نظر می رسد که می تواند ادامه یابد، به اشکال کوچکتر و کوچکتر تقسیم می شود و مارپیچ تنگ تر و محکم تر می شود.

مارپیچ فیبوناچی در مقابل مارپیچ طلایی

اصطلاحات مارپیچ فیبوناچی و مارپیچ طلایی اغلب به جای یکدیگر استفاده می شوند. اما این دو مارپیچ کمی متفاوت هستند.

یک مارپیچ فیبوناچی با ایجاد یک مارپیچ از مربع ها ساخته می شود که اندازه آنها با اعداد دنباله فیبوناچی افزایش می یابد. بنابراین: 1، 1، 2، 3، 5، 8، 13، 21، و غیره. می توانید این را در GIF متحرک زیر مشاهده کنید.

چگونه می توان یک مارپیچ فیبوناچی ساخته شد (© 2022 Let's Talk Science)

تصویر - نسخه متن

نشان داده شده یک GIF متحرک از یک مارپیچ در حال رشد با مربع های بزرگتر و بزرگتر از رنگ های مختلف است.

اولین مربع کوچک و آبی ، با یک خط سفید خمیده از پایین سمت چپ به گوشه بالا سمت راست. مربع دوم در بالا ظاهر می شود. بسیار بزرگتر است و منحنی های خط از پایین سمت راست تا بالا سمت چپ. مربع سوم دوباره بزرگتر است. در سمت چپ بقیه ظاهر می شود ، و منحنی خط از بالا سمت راست تا پایین سمت چپ. میدان چهارم در زیر سایرین ظاهر می شود ، با یک خط از بالا سمت چپ به پایین سمت راست. مربع پنجم نارنجی است و در سمت راست ظاهر می شود ، با یک خط از پایین سمت چپ به سمت راست. میدان پنجم در بالای بقیه ، به صورت صورتی ، با یک خط از پایین سمت راست تا بالا سمت چپ ظاهر می شود. مربع نهایی آنقدر بزرگ است که بیش از نیمی از صفحه طول می کشد و تمام فضای سمت چپ بقیه را پر می کند. این رنگ آبی است که یک خط از بالا تا پایین سمت چپ خمیده است.

هنگامی که تمام مربع ها در کنار هم قرار می گیرند ، خطوط خمیده در سراسر آنها یک مارپیچ تشکیل می دهند. این مارپیچ از یک مربع خالی کوچک در گوشه پایین سمت راست صفحه رشد می کند.

با این حال ، یک مارپیچ طلایی با لانه سازی مستطیل های طلایی کوچکتر و کوچکتر در یک مستطیل طلایی بزرگ ایجاد می شود. به تفاوت GIF زیر نگاه کنید:

چگونه می توان یک مارپیچ طلایی ساخته شد (© 2022 Let's Talk Science)

تصویر - نسخه متن

نشان داده شده یک GIF متحرک از مستطیل ها و مربع های کوچکتر و کوچکتر است که در بالای یکدیگر ظاهر می شود و به دنبال الگوی یک مارپیچ است.

اولین مستطیل آبی است و کل پنل را می گیرد. در گوشه بالا سمت چپ یک خط سفید خمیده دارد. شکل دوم یک مستطیل صورتی است که سمت راست آبی را پوشانده است ، به طوری که قسمت آبی اکنون یک شکل مربع است. در گوشه بالا سمت راست یک خط سفید خمیده دارد. سوم مستطیل نارنجی است که قسمت پایین صورتی را پوشانده است ، بنابراین منطقه صورتی یک مربع را تشکیل می دهد. در گوشه پایین سمت راست دارای یک خط سفید خمیده است. چهارم مستطیل بنفش است که قسمت سمت چپ نارنجی را پوشانده و یک مربع نارنجی ایجاد می کند. در مرحله بعدی یک مستطیل قرمز است که یک مربع بنفش و یک مستطیل سبز تشکیل می دهد که یک مربع قرمز را تشکیل می دهد. سرانجام یک مربع آبی کوچک در کنار یک رنگ سفید با همان اندازه ظاهر می شود.

پس از اتمام GIF ، تمام خطوط سفید خمیده ، یک مارپیچ مارپیچ را به مربع سفید نهایی در ربع پایین سمت راست پانل تشکیل می دهند.

آیا این مارپیچ ها آشنا به نظر می رسند؟خوب آنها باید!ما می توانیم همان الگوی را در طبیعت ببینیم.

هشدار غلط

شایان ذکر است که مارپیچ هایی که در اشیاء طبیعی می بینیم دقیقاً با نسبت طلایی مطابقت ندارند ، اما نزدیک می شوند.

Fibonacci Spiral روی یک آفتابگردان (بیایید با استفاده از تصویری از دامیان پاولوس از طریق Istockphoto ، علم را صحبت کنیم). تصویر - نسخه متن

نشان داده شده یک عکس رنگی از مرکز یک آفتابگردان است که یک مارپیچ آبی روی آن قرار دارد.

گل دارای گلبرگهای زرد روشن است. مرکز آن از سازه های کوچک و برجسته و عمیق زرد تشکیل شده است که به طور متراکم در یک دایره بسته بندی شده است. مارپیچ نشان می دهد که ساختارهای کوچک اشاره شده در یک الگوی مارپیچی گذاشته می شوند.

Fibonacci Spiral در قسمت داخلی یک پوسته Nautilus (بیایید با استفاده از تصویری از Duncan1890 از طریق Istockphoto صحبت کنیم). تصویر - نسخه متن

نشان داده شده یک عکس رنگی از یک پوسته است که به نصف برش داده شده است تا داخل آن را نشان دهد ، با یک مارپیچ قرمز روی آن قرار گرفته است.

دیوارهای پوسته از یک نقطه مرکزی دور می شوند و به لبه بیرونی وسیع تر و گسترده تر می شوند. این ساختار به بخش های خمیده و گوه ای شکل تقسیم می شود که از نقطه مرکزی نیز در اندازه رشد می کنند. مارپیچ نشان می دهد که پوسته مارپیچ فیبوناچی را تشکیل می دهد.

Fibonacci Spiral در Galaxy Messier 101 با نام The Pinwheel Galaxy (Let's Talk Science با استفاده از تصویری از آژانس فضایی اروپا و ناسا [CC توسط 3. 0] از طریق Wikimedia Commons). تصویر - نسخه متن

نشان داده شده یک عکس رنگی از یک شکل چرخان Wispy در فضای بیرونی است که یک مارپیچ قرمز روی آن قرار دارد.

پس زمینه سیاه و پراکنده با نقاط سفید و طلا است. مرکز چرخش طلای کمرنگ با خطوط نازک طلای تیره در سراسر است. دمهای سفید Wispy از مرکز بیرون می آیند و به فضا خم می شوند. این گروههای سفید شفاف توسط توده های سفید روشن سوراخ می شوند.

مارپیچ قرمز روی عکس نشان می دهد که این کهکشان یک مارپیچ فیبوناچی را تشکیل می دهد.

از نسبت طلایی نیز می توان با شکل های دیگر نیز استفاده کرد. می توان نسبت های طلایی را در الگوهای مربوط به محافل ، مثلث ، پنجه و سایر شکل ها پیدا کرد.

اشکال دیگر با نسبت های طلایی آنها (بیایید با استفاده از تصویری از Primo-Piano از طریق Istockphoto ، علم صحبت کنیم). تصویر - نسخه متن

نشان داده شده نمودار مثلث ها ، پنجه ها ، مربع ها و دایره هایی با خطوط آبی است که بر روی آنها کشیده شده است.

بزرگترین مثلث حاد است و شامل هفت مثلث کوچکتر است. لبه سمت چپ آن توسط یک خط آبی پوشانده شده است ، با برچسب 1. 618. خط آبی گوشه را می چرخاند و در لبه پایین آن ادامه می یابد ، برچسب آن 1. این مثلث به یک مثلث ایزوله و یک مثلث اسکالن تقسیم می شود. مثلث Scalene بیشتر به یک حاد دیگر و یک مثلث ایزوله دیگر تقسیم می شود. خط آبی در اطراف طولانی و سپس لبه کوتاه مثلث حاد ادامه دارد. این مثلث دوباره به حاد دیگر و یک ایزوله دیگر تقسیم می شود. خط آبی در امتداد پایه مثلث حاد ادامه می یابد ، که بیشتر به یک حاد دیگر و یک ایزوله دیگر تقسیم می شود. خط آبی در امتداد این پایه ادامه دارد و مثلث دوباره تقسیم می شود. خط آبی به پایان می رسد که گوشه ای محکم را در امتداد پایه کوچکترین مثلث حاد قرار می دهد. در کل ، خط آبی نوعی مارپیچ را تشکیل می دهد ، با سری زاویه های حاد و لبه های مستقیم که کوتاه تر و نزدیکتر به یک نقطه در پایین سمت راست بزرگترین مثلث می شوند.

بزرگترین پنتاگون برچسب 8 است. لبه پایین آن با یک خط آبی پوشانده شده است. در داخل آن ، یک پنتاگون کوچکتر دارای برچسب 5 است و خط آبی در یکی از لبه های آن ادامه دارد. در داخل این پنجه های کوچکتر با برچسب 3 و 2 قرار دارند ، جایی که خط در امتداد لبه هر یک ادامه می یابد. دو پنیر حتی کوچکتر بدون نمایش هستند ، اما از همان الگوی پیروی می کنند. تمام بخش های خط آبی یک مارپیچ با زاویه های چاق و لبه های مستقیم تشکیل می دهند که کوتاه تر و نزدیکتر به یک نقطه در سمت راست پایین بزرگترین پنتاگون می شوند.

بزرگترین مربع دارای برچسب 8 است. یک کوچکتر که در سمت راست در مقابل آن قرار گرفته است ، دارای برچسب 5 است. یک خط آبی از گوشه بالا سمت چپ مربع بزرگ ، به گوشه بالا سمت چپ مربع کوچکتر کشیده می شود و تشکیل می دهدشیب به سمت راست. مربع های کوچکتر و کوچکتر ، دارای برچسب 3 ، 2 و 1 ، از همان الگوی پیروی می کنند و خط آبی در یک شیب مستقیم به پایین ترین مربع ، در سمت راست ، ادامه می یابد.

بزرگترین دایره برچسب d = 8 است. یک خط آبی قسمت بالای سمت چپ دور را پوشش می دهد. در داخل آن ، دایره های کوچکتر دارای برچسب 5 ، 3 ، 2 و 1 هستند. خط آبی در امتداد قسمت های هر دایره ادامه می یابد و یک مارپیچ را تشکیل می دهد. این به کوچکترین نقطه خود در سمت راست بالای بزرگترین دایره فرهای می کند.

بنابراین ، این که آیا شما فکر می کنید نسبت طلایی باعث زیباتر شدن اوضاع می شود به شما بستگی دارد. اما شاید بتوانیم قبول کنیم که توالی فیبوناچی و نسبت طلایی از نظر ریاضی جالب هستند. آنها همچنین می توانند روش جدیدی برای دیدن طبیعت و هنر به ما ارائه دهند.